TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GIẢI TÍCH 1

BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1 Ts. Lê Xuân Đại Ngày 7 mon 7 năm 2011 Mục lục 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 1.1 có mang dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 đặc điểm của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 số lượng giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 các khái niệm cơ bạn dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 tính chất của số lượng giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 số lượng giới hạn vô cùng của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Dãy nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của hàng số quy tụ . . . . 6 1.3 số lượng giới hạn của dãy đối kháng điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Các cách thức tìm số lượng giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Dùng biến đổi đại số nhằm tìm số lượng giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 cần sử dụng định lý kẹp thân tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ phiên bản lim n→+∞ q n = 0, |q| 0 để tìm số lượng giới hạn của dãy 11 1.4.5 dùng định lý Weierstrass về sự việc tồn tại số lượng giới hạn của dãy đối kháng điệu . . 11 1.4.6 Tìm số lượng giới hạn của hàng số dùng giới hạn cơ bản lim n→∞ (1 + u n ) 1 u n = e, biết rằng khi n → ∞ thì u n → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.7 Dùng quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng tỏ dãy số phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 giới hạn của hàm số từ một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 2.3 giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 số lượng giới hạn vô thuộc của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 giới hạn vô cùng của hàm số trên điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 giới hạn vô cùng bé nhỏ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 số lượng giới hạn vô cùng bự của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 đặc điểm của hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trăng tròn 2.9 số lượng giới hạn của hàm phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trăng tròn 2.10 Những giới hạn cơ phiên bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 so sánh hàm vô cùng bé nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 mọi hàm vô cùng nhỏ xíu tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.13 so sánh hàm vô cùng béo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14.1 Tìm số lượng giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng nhỏ xíu tương đương 22 2.14.2 so sánh những hàm vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay khôn xiết lớn tương đương 24 2.14.4 so sánh những vô cùng bự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.5 Tìm số lượng giới hạn của hàm một biến chuyển dùng giới hạn cơ phiên bản lim x→0 (1+u(x)) 1 u(x) = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.14.6 Tìm số lượng giới hạn của biểu thức tất cả dạng f(x) g(x) khi x → a . . . . . . . . 25 2 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 định nghĩa dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N −→ R tự tập đúng theo số thoải mái và tự nhiên lên tập hợp số thực R được call là dãy số. Hàng số được kí hiệu là (x n ). 1.1.2 đặc thù của hàng số 1. Tính tăng cùng tính giảm. Định nghĩa 1.1.2 hàng số (x n ) được điện thoại tư vấn là hàng tăng (dãy giảm) ví như như với mọi n ∈ N luôn luôn có bất đẳng thức x n 0 yêu cầu ta chỉ cần chứng minh x n+1 x n > 1. Ta tất cả x n+1 x n = (1 + 1 n+1 ) n+1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n+1 ) n+1 ( n+1 n ) n =  n+2 n+1 n+1 n  n+1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n+1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n+1 . N + 1 n >  1 − 1 n + 1  . N + 1 n = n n + 1 . N + 1 n = 1 (Bất đẳng thức Bernuli.) chứng tỏ rằng, ví như số h > −1 và h = 0 thì luôn có bất đẳng thức (1 + h) n > 1 + nh với tất cả số thoải mái và tự nhiên n  2. để ý rằng lốt đẳng thức có được là vì dùng bất đẳng thức Bernuli. Vậy nên x n 0 cần ta chỉ việc chứng minh x n x n+1 > 1. Ta tất cả x n x n+1 = (1 + 1 n ) n+1 (1 + 1 n+1 ) n+2 = ( n+1 n ) n+1 ( n+2 n+1 ) n+2 =  n+1 n n+2 n+1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n + 2)  n+2 . N n + 1 >  1 + 1 n  . N n + 1 = n + 1 n . N n + 1 = 1. Chăm chú rằng vết bất đẳng thức bao gồm được là vì dùng bất đẳng thức Bernuli. Vì vậy x n > x n+1  2. Tính bị chặn. Định nghĩa 1.1.3 dãy số (x n ) ⊂ R được call là bị ngăn trên (dưới), nếu như như mãi sau số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với hầu như ∀n ∈ N luôn luôn có x n  M(x n  m). Số M (m) được gọi là cận bên trên (cận dưới) của dãy (x n ). Định nghĩa 1.1.4 hàng số (x n ) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu như nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao để cho với các ∀n ∈ N luôn luôn có m  x n  M. Định nghĩa 1.1.5 dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là không trở nên chặn trên (dưới), trường hợp như với đa số số ∀M ∈ R (m ∈ R), trường thọ số hạng của hàng số x n 0 làm sao để cho x n 0 > M (x n 0 0 lấy ví dụ như 1.1.4 dãy số x n = (1 + 1 n ) n , (n ∈ N) bị ngăn dưới vày số m = 0 cùng bị ngăn trên vày số M = 4. Triệu chứng minh. Với đa số ∀n ∈ N luôn có x n > 0, cùng x n = (1 + 1 n ) n 0 sống thọ số N = N(ε) làm sao để cho với đầy đủ ∀n > N luôn có bất đẳng thức |x n − a| n 0 cùng lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. 1.2.3 giới hạn vô thuộc của dãy số Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞; ∞) được gọi số lượng giới hạn của hàng số (x n ) ⊂ R, giả dụ như với đa số ∀M > 0 mãi mãi số N = N(M) >) làm thế nào để cho với hầu như ∀n > N luôn có bất đẳng thức x n > M(x n M). 5 1.2.4 Dãy nhỏ Định nghĩa 1.2.5 đến dãy số (x n ) ⊂ R cùng n 1 n 0 cùng lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. Bài 1.4.7 Tìm số lượng giới hạn lim n→∞ 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Giải. Đặt a n = 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Khi ấy ta có 1 = n n n n  a n  n 1 + n 2 + . . . + n n n n = n n+1 − n (n − 1)n n = n n − 1 n n . N n − 1 n 2 4 , ∀n ∈ N. Cho nên 0 1 ta tất cả n > n(n+1) 2 ( n √ n−1) 2 . Do đó với đa số ∀n > 1, 0 1. Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta bao gồm a = (1 + ( n √ a − 1)) n = 1 + n( n √ a − 1) + n(n + 1) 2 ( n √ a − 1) 2 + . . . + ( n √ a − 1) n . Cùng với a > 1 ta gồm a > n( n √ a − 1). Cho nên vì vậy 0 1, cho nên 1 |q| = 1 + h, h > 0. Từ kia theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q| n = (1 + h) n > 1 + nh > nh ⇒ 0 1. Giải. Theo phương pháp nhị thức Newton ta có a n = (1 + (a − 1)) n = 1 + n(a − 1) + n(n + 1) 2 (a − 1) 2 + . . . + (a − 1) n . Với a > 1 ta gồm a n > n(n+1) 2 (a − 1) 2 . Vì vậy 0 an dãy an bị chặn trên thật vậy 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + + n 11 bài 1. 4.20 chứng tỏ rằng dãy an = 1 1 1 + + n quy tụ + 2 5 +1 5 +1 5 +1 Giải dãy an là dãy đối chọi điệu tăng thật vậy, vày an +1 = an + 1 5n +1 +1 đề xuất an +1 > an hàng an bị chặn trên thật vậy an = 1 1 1 1 1 1 + 2 + + n 0, a = 1) x→0 x ln a 3 lim ln (1 + x) =1 x→0 x 4 lim ax − 1 = ln a(a > 0, a = 1) x→0 x 5 lim ex − 1 =1 x→0 x 6 lim (1 + x)µ − 1 = µ(µ ∈ R) x→0 x √ n 1+ x 1 1 8 lim = n (n ∈ N) x→0 x √ 1+ x 1 9 lim =1 2 x→0 x 7 lim đôi mươi 2 .11 so sánh hàm vô cùng nhỏ nhắn Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) khẳng định trên thuộc 1 tập xác định X ⊂ R... Vì chưng lim ( 1) n α n→+∞ n Sử dụng giới hạn cơ bản lim 1. 4.4 = 0, α > 0 để tìm số lượng giới hạn của hàng 1 ( 1) n + n bài xích 1. 4 .19 Tìm số lượng giới hạn lim 1 n→∞ 2 − ( 1) n n Giải phân chia tử số và chủng loại số mang đến ( 1) n ta gồm an = do đó lim an = lim n→∞ 1. 4.5 n→∞ 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 ( 1) n ( 1) n = lim = 0 n→∞ n→∞ n n2 = 1 bởi vì lim cần sử dụng định lý Weierstrass về việc tồn tại giới hạn của dãy 1-1 điệu Định lý 1. 4.2 Nếu...( 1) n , α>0 n→+∞ nα bài 1. 4 .13 I = lim Giải cùng với α > 0 ta tất cả ( 1) n nα 1 nα 1 nα 1 1 = lim α = 0 nên I = 0 α n→∞ n n→∞ n ngoài ra lim Sử dụng số lượng giới hạn cơ bản lim q n = 0, |q| 1 bài bác 1. 4 .17 Tìm số lượng giới hạn lim Giải chia tử số và chủng loại số đến (−6)n ta có một an = 1 5.5n (−6)n 5n −6 vì thế lim an = lim n→∞ n→∞ (−6)n =− 5.5n (−6)n 5n (−6)n −6 1 5n bởi lim = 0 n→∞ (−6)n 6 2n + 3−n n→∞ 2−n − 3n bài bác 1. 4 .18 Tìm giới hạn lim Giải phân tách tử số và mẫu số mang lại 3n ta bao gồm 2n + 91 n 3n 1 1 6n an = cho nên vì thế lim an = n→∞ 2n 1 n + n lim 3 1 9 n→∞ n − 1 6 2n 1 1 = lim n = . Minh x n +1 x n > 1. Ta có x n +1 x n = (1 + 1 n +1 ) n +1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n +1 ) n +1 ( n +1 n ) n =  n+2 n +1 n +1 n  n +1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n +1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n +1 . N + 1 n >  1. Minh x n x n +1 > 1. Ta có x n x n +1 = (1 + 1 n ) n +1 (1 + 1 n +1 ) n+2 = ( n +1 n ) n +1 ( n+2 n +1 ) n+2 =  n +1 n n+2 n +1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n +. Lim n→∞ n 2 (n 2 + 1) − n 3 (n + 1) (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ n 2 − n 3 (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ 1 n − 1 (1 + 1 n ) (1 + 1 n 2 ) = 1.


Bạn đang xem: Tìm giới hạn của hàm số giải tích 1


Xem thêm: Bài Soạn Văn Lớp 8 Bài Đánh Nhau Với Cối Xay Gió, Soạn Bài Đánh Nhau Với Cối Xay Gió

Bài 1. 4.2 Tìm giới hạn I = lim n→∞ (n + 1) 4 − (n − 1) 4 (n 2 + 1) 2 −