Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài bác tập vận dụng

Nguyên hàm tích phân là văn bản vô cùng quan trọng trong lịch trình Toán 12 mở ra nhiều trong số đề thi. Nhằm mục đích giúp những em nắm vững hơn phần kỹ năng này, thpt Sóc Trăng đã chia sẻ cách thức tích phân từng phần hay tốt nhất và những dạng bài bác tập vận dụng. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN


1. Tích phân từng phần là gì?

Bạn đã xem: phương thức tích phân từng phần hay tốt nhất và bài xích tập vận dụng

Trong vi tích phân nói riêng, cùng trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa vào tích phân các đạo hàm với nguyên hàm của chúng. Nó thường xuyên được sử dụng để đổi khác nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà lại đáp án có thể được tìm thấy dễ ợt hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng phương pháp tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Bạn đang xem: Giải tích phân từng phần


Nếu u = u(x) và du = u′(xdx, trong đó v = v(x) và dv = v′(xdx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

*
_a^b-int _a^bu"(x)v(x)dx&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-int _a^bu"(x)v(x),dxendaligned}}}" aria-hidden="true">

hay gọn hơn:

*

Có những công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng đều có mô hình tránh rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

2. Định lý

Định lý có thể được suy ra như sau. đưa sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

*

Tích phân cả nhị vế đối với x,

*

sau đó vận dụng định nghĩa của nguyên hàm,

*
*

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

*
*

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, buộc phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

II. CÔNG THỨC, CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Các cách tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: biến đổi tích phân thuở đầu về dạng 

*
.

+ Bước 2: Đặt 

*
 (chọn 
*
 là một nguyên hàm của
*
).

+ Bước 3: lúc đó 

*
.

thứ tự ưu tiên để u: lắp thêm tự ưu tiên lựa chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Ví dụ:

Cho 

*
 và 
*
. Tính 
*
.

A. 

*
. B. 
*
. C.
*
. D. 
*
.

Lời giải:

Đặt 

*
.

Ta có 

*
*
.

Xem thêm: Đánh Giá Trường Thpt Phù Cừ, Trường Thpt Phù Cừ, Huyện Phù Cừ

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 

Bài 1: Tính tích phân sau:

*

Hướng dẫn:

*
*